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APCS小群體題解：用程式找出朋友圈

嘿，各位程式設計的小夥伴們！今天我們要來聊聊APCS的一道經典題目 —— 「小群體」。這題不僅考驗你的程式功力，還能讓你體驗到程式如何解決現實生活中的問題。想像一下，如果你是個社交網絡分析師，要找出一群人中的小圈子，你會怎麼做？好啦，別想太多，讓我們一起來看看這個有趣的題目吧！

題目大哉問：誰和誰是好朋友？

首先，讓我們來看看這個題目到底在說些什麼：

  1. 有N個人，編號從0到N-1。
  2. 每個人都有一個「最好的朋友」（可能是自己）。
  3. 我們要找出這群人中有多少個「小群體」。

聽起來很像是在分析社交網絡對吧？沒錯，這就是程式與現實生活的完美結合！

解題思路：化繁為簡的魔法

別被題目嚇到了，其實這個問題可以簡化成一個圖論問題。我們可以把每個人看作一個節點，他們之間的好友關係就是邊。我們的任務就是找出這個圖中有多少個「連通分量」。

聽起來很厲害是吧？別擔心，讓我用白話文解釋一下：

  1. 想像每個人都是一個小圓圈。
  2. 如果A的好朋友是B，我們就在A和B之間畫一條線。
  3. 最後，我們要數一數，總共有多少個互相連接的小圈子。

就是這麼簡單！

程式碼大觀園：DFS的魔力

好了，理論說完了，讓我們來看看實際的程式碼吧！我們會用C++來實現，主要使用深度優先搜索（DFS）這個厲害的演算法。

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

vector<int> friends;   // 儲存每個人最好朋友的編號
vector<bool> visited;  // 標記是否已訪問

// 深度優先搜尋找出小群體
void dfs(int idx) {
    visited[idx] = true;
    int next = friends[idx];
    if (!visited[next]) {
        dfs(next);
    }
}

int main() {
    int N;
    cin >> N;

    friends.resize(N);
    visited.assign(N, false);

    for (int i = 0; i < N; i++) {
        cin >> friends[i];
    }

    int groupCount = 0;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        if (!visited[i]) {
            dfs(i);
            groupCount++;
        }
    }

    cout << groupCount << endl;
    return 0;
}

這段程式碼看起來有點嚇人？別怕，讓我們一步步來解析：

  1. 變數宣告：我們用兩個向量，一個存好友關係，一個記錄是否訪問過。
  2. DFS函數：這是我們的主角！它會深入探索每個人的朋友圈。
  3. 主函數：讀取輸入，然後對每個未訪問的人進行DFS，每次DFS就是找到一個新的小群體。

解題過程：一步一步拆解謎題

讓我們用一個具體的例子來看看這個程式是如何運作的：

假設輸入是：

5
1 2 3 4 0

這代表有5個人，他們的好友關係是：

  • 0的好友是1
  • 1的好友是2
  • 2的好友是3
  • 3的好友是4
  • 4的好友是0

程式執行過程：

  1. 從0開始，訪問0→1→2→3→4→0，發現形成一個圈，groupCount = 1。
  2. 所有人都被訪問過了，程式結束。

最後輸出：1（只有一個小群體）

是不是很神奇？我們用程式模擬了人際關係的連結！

效能分析：速度與準確的平衡

這個解法的時間複雜度是O(N)，因為我們最多只會訪問每個人一次。空間複雜度也是O(N)，主要用來存儲好友關係和訪問狀態。

對於APCS的評分標準來說，這個解法應該能夠輕鬆應對所有測試案例：

子題組分數限制條件我們的解法是否適用
120分N ≤ 100，每群最多2人完全適用
230分N ≤ 1,000輕鬆搞定
350分1,001 ≤ N ≤ 50,000沒問題！

延伸思考：現實世界的應用

這個小小的程式題目，其實反映了很多現實世界的問題：

  1. 社交網絡分析：找出社交網絡中的小圈子，對於市場營銷、輿情分析都有重要意義。
  2. 疾病傳播模型：了解人群中的小群體，可以幫助預測疾病傳播路徑。
  3. 組織結構優化：在企業中，了解員工之間的非正式群體，有助於改善溝通和團隊建設。

看到了嗎？你學的不只是解題技巧，而是解決實際問題的能力！

結語：程式設計的魅力

親愛的程式設計師們，通過這個「小群體」題目，我們不僅學會了如何用DFS解決圖論問題，更體會到了程式設計與現實世界的緊密聯繫。下次當你在社交場合中觀察人際關係時，別忘了你其實擁有一雙「程式員的眼睛」，能夠用算法的思維來理解這個複雜的世界。

記住，程式設計不僅是寫代碼，更是一種思考方式。它教會我們如何將複雜的問題簡化，如何用邏輯和創意來解決難題。所以，繼續練習，繼續探索，你正在掌握改變世界的技能！

最後，如果你覺得這篇文章對你有幫助，別忘了分享給你的程式設計夥伴們。讓我們一起在程式的海洋中遨遊，發現更多的驚喜和樂趣！

Happy Coding！

Citations: [1] https://www.programiz.com/cpp-programming/online-compiler/
[2] https://hackmd.io/@yizhewang/ryqm-9u6i
[3] https://husking-studio.com/apcs-1060304-2/
[4] https://yunlinsong.blogspot.com/2020/01/apcs-10603-2.html
[5] https://www.zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=c291
[6] https://hackmd.io/@QWERTYPIG/H10p2WPrn
[7] https://yuihuang.com/zj-c291/